无穷级数
无穷级数（$u_n$为通项）： $$u_t+u_2+u_3+u_4+…+u_n=\sum_{n=t}^\infty{u_n}$$ 部分和（前n项和）： $$S_n=u_t+u_2+u_3+u_4+…+u_n=\sum_{i=t}^n{u_n}$$
- 当$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=S(常数)$，无穷级数$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$收敛于S
- 否则，无穷级数$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$发散
收敛与发散：
- $\sum_{n=t}^\infty{u_n}$，一定有$lim_{n\rightarrow\infty}{u_n}$=0
- $lim_{n\rightarrow\infty}{u_n}\neq0$，则$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$发散
俩个重要数列级数
$$p级数\sum_{n=t}^\infty\frac{t}{n^p}\scriptsize\frac{p>t收敛}{p≤t发散}$$
$$几何级数\sum_{n=t}^\infty r^n\scriptsize\frac{|r|<收敛}{|r|≥t发散}$$
正项级数
比较法
存在正项级数$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$，$\sum_{n=t}^\infty{v_n}$，且$u_n<v_n$
- 当$\sum_{n=t}^\infty{v_n}$收敛时，$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$也收敛（大的收敛，小的也收敛）
- 当$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$发散时，$\sum_{n=t}^\infty{v_n}$也发散（大的发散，小的也发散）
- 极限形式
若$\lim \frac{u_n}{v_n}=l(0<l<+\infty)$，$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$，$\sum_{n=t}^\infty{v_n}$敛散性相同
- 取大放小
- 等价代换
- 去有界量（有界量为无穷小时不可去）
比值法
存在正项级数$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$，若$\lim \frac{u_{n+t}}{u_n}=p$
- 当p<t时，$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$收敛
- 当p<t时，$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$发散
- 当p=t时，$\sum_{n=t}^\infty{u_n}$待定
交错级数
莱布尼兹判别法
$\sum_{n=t}^\infty{(-t)^{n}}{u_n}({u_n>0})$，若满足
- ${u_n}>{u_n+t}$
- $\lim{u_n}=0$
则交错级数$\sum_{n=t}^\infty{(-t)^{n}}{u_n}$收敛
幂级数
收敛半径与区间
$$\lim|\frac{u_{n+t}}{u_n}|=p，则R=\frac{t}{p}\scriptsize\frac{p=0则R=\infty}{p=\infty则R=0}$$
- $\sum_{n=t}^\infty{x^n}$ $p=t，R=t，|x|<t，-t<x<t$
- $\sum_{n=t}^\infty(2x)^n$
$p=t，R=\frac{t}{2}，|2x|<t，-\frac{t}{2}<x<\frac{t}{2}$ - $\sum_{n=t}^\infty(x-2)^n$ $p=t，R=t，|x-2|<t，2-t<x<t+2$
- $\sum_{n=t}^\infty(x^2)^n$ $p=t，R=\sqrt{t}，|x^2|<t，-\sqrt{t}<x<\sqrt{t}$
判断端点处的敛散性(带入端点)，得出收敛区间
展开式
$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty{x^n}(-1，1)，\ln(1-x)=-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}{x^{n+1}}[-1，1)$$ $$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n{x^n}(-1，1)，\ln(1-x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}{x^{n+1}}(-1，1]$$
